Vektorrechnung
Inhaltsverzeichnis
Einführung
In der Physik werden viele Größen durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben wie z. B. das Gewicht eines Körpers oder die Temperatur. Man spricht in diesem Fall von skalaren Größen. Daneben existieren vektorielle Größen, zu deren Beschreibung neben Zahlenwert und Einheit auch noch die Richtung benötigt wird. Betrachten wir z. B. die Bewegung eines Flugkörpers, dann besitzt dieser zu jedem Zeitpunkt nicht nur eine momentane Geschwindigkeit v(t), sondern auch eine Bewegungsrichtung. Während die gerichteten Größen durch Vektoren dargestellt werden, erfolgt die Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge durch vektorielle Größengleichungen. Die gerichtete Strecke kann z. B. als das Produkt aus gerichteter Geschwindigkeit
und Zeit t berechnet werden:
In einer vektoriellen Gleichung erfüllen Zahlenwerte, Einheiten und Richtung unabhängig voneinander die Gleichheitsbeziehung.
Zeichnerisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt, deren Richtung die Richtung des Vektors angibt und deren Länge den Betrag des Vektors beschreibt. Zwei Vektoren werden als gleich bezeichnet, wenn sowohl ihr Betrag, ihre Orientierung im Raum als auch ihr Durchlaufsinn gleich sind. In der Physik unterscheidet man zwischen freien Vektoren und gebundenen Vektoren. Bei freien Vektoren spielt die Position ihres Anfangspunktes keine Rolle, d. h. sie können frei im Raum verschoben werden. Zwei gleiche Vektoren können so durch paralleles Verschieben zur Deckung gebracht werden. Als Beispiel für die gebundenen Vektoren können die Feldvektoren angesehen werden, die z. B. Betrag und Richtung einer ortsabhängigen Feldstärke beschreiben und damit einer bestimmten Stelle im Raum zugeordnet sind. Bei gebundenen Vektoren können Betrag und Richtung in jedem Punkt des Raumes unterschiedlich sein.
Unter einem Vektor versteht man einen Vektor mit dem gleichen Betrag wie
, aber mit entgegengesetzter Richtung.
In vielen Fällen werden unterschiedliche Vektoren benötigt, die aber den gleichen Angriffspunkt haben, z. B. kann man sich mehrere Vektoren vorstellen, die ausgehend von dem Ursprung eines Koordinatensystems zu verschiedenen Punkten im dreidimensionalen Raum zeigen. Diese Vektoren werden als Ortsvektoren bezeichnet (s. Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren).
Einheitsvektoren
Ein Vektor vom Betrag 1 wird Einheitsvektor genannt. Jeder Vektor kann als Produkt aus einem Betrag (seiner Länge) und einem in Richtung des Vektors zeigenden Einheitsvektor dargestellt werden.
Den in Richtung eines Vektors zeigenden Einheitsvektor
kann man nach Formel (1) berechnen, indem man den Vektor durch seinen Betrag a dividiert.
Einfache Rechenoperationen mit Vektoren
Addition und Subtraktion von Vektoren
Zwei Vektoren werden addiert, indem man den zweiten Vektor parallel verschiebt, dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt des ersten Vektors zusammenfällt. Der resultierende Vektor (Summenvektor) ist ein neuer Vektor, dessen Anfangspunkt mit dem Anfangspunkt des ersten Vektors und dessen Endpunkt mit dem Endpunkt des zweiten Vektors zusammenfällt.
Aus der Abbildung Vektoraddition und -subtraktion ist unmittelbar zu erkennen, dass für die Vektoraddition das kommutative Gesetz gilt
Zur Berechnung des Differenzvektors bildet man zunächst den Vektor
, indem man bei dem Vektor
die Richtung umkehrt. Dieser neue Vektor wird dann zum Vektor
gemäß der Vorschrift
addiert Abbildung (Vektoraddition und -subtraktion).
Multiplikation von Vektor und Skalar
Bezeichnet man mit p eine positive reelle Zahl, dann versteht man unter dem Produkt einen Vektor mit der gleichen Richtung wie
, dessen Länge
sich aber um den Faktor p geändert hat. Handelt es sich bei p um eine negative Zahl, dann versteht man unter dem Produkt p a einen neuen Vektor der Länge
, jetzt aber mit entgegengesetzter Richtung zu dem ursprünglichen Vektor
. Für den Sonderfall p = 0 erhält man aus dem Produkt
den Nullvektor
mit der Länge 0, dessen Richtung unbestimmt ist.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
und
ist definiert als
wobei den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel bezeichnet, sofern beide Vektoren an dem gleichen Anfangspunkt beginnen. Das Ergebnis dieser Berechnung ist ein Skalar. Der Winkel
liegt zwischen 0 und 180°, d. h. der Kosinus dieses Winkels ist eindeutig.
Die Länge kann interpretiert werden als die Länge der Strecke, die man bei einer Projektion des Vektors
auf die Richtung des Vektors
erhält.
Das Skalarprodukt entspricht also dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen und
. Mit der gleichen Berechtigung kann auch der Vektor
auf die Richtung des Vektors
projiziert werden. Das Produkt aus der Länge dieser Projektion
mit der Länge
ergibt wiederum ein Rechteck mit geändertem Seitenverhältnis, jedoch gleichem Flächeninhalt.
Aus der Beziehung Formel (2) bzw. aus der Abbildung Skalarprodukt ist unmittelbar zu erkennen, dass das Skalarprodukt kommutativ ist
Für parallele bzw. senkrecht aufeinander stehende Vektoren und
erhält man die Sonderfälle
Vektorprodukt
Zur Beschreibung einiger physikalischer Zusammenhänge wie z. B. bei der Berechnung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter oder bei der Berechnung des Drehmomentes wird noch eine andere Verknüpfung von Vektoren benötigt, die als Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt bezeichnet wird.
Das vektorielle Produkt bei beiden Vektoren
und
ist ein Vektor
, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren
und
aufgespannten Ebene steht und dessen Richtung so festgelegt ist, dass die drei Vektoren
,
,
ein Rechtssystem bilden. Beim Drehen des Vektors
in Richtung des Vektors
erfährt er eine Rechtsschraube eine Vorwärtsbewegung in Richtung des Vektors
. Man kann sich diesen Zusammenhang auch auf einfache Weise mit den Fingern der rechten Hand veranschlaulichen. Zeigt der Daumen in Richtung des Vektors
und der Zeigefinger in Richtung des Vektors
, dann zeigt der senkrecht auf der von den beiden Fingern gebildeten Ebene stehende Mittelfinger in Richtung des Vektors
.
Als Betrag des Vektors definiert man das Produkt
, das gemäß Abb. 5 dem Flächeninhalt des von beiden Vektoren
und
aufgespannten Parallelogramms entspricht
Der zwischen den Vektoren und
eingeschlossenen Winkel
liegt in dem Wertebereich
.
Wird der Vektor in Richtung des Vektors
gedreht, dann zeigt die so entstehende Rechtsschraube in die entgegengesetzte Richtung, so dass allgemein
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{equation} \vec{\textbf{b}}\times\vec{\textbf{a}}=-(\vec{\textbf{b}}\times\vec{\textbf{a}}) \end{equation}
gilt. Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ.
Für parallele bzw. senkrecht aufeinander stehende Vektoren und
gelten die beiden Sonderfälle
Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten
Test Überschrift
Test: Addition:
Formel (3)
Hallo.
Test
Formel (3)