Getb:Beispiel für eine DGL 1. Ordnung: Das RL-Glied
Inhaltsverzeichnis
Aufstellen der Differenzialgleichung
Lösung der homogenen Differenzialgleichung
Ziel ist es, die eben aufgestellte DGL für das RL-Glied zu lösen. Die dazugehörige homogene DGL lautet:
Die gesuchte Funktion ist der Verlauf des Stroms . Zur Lösung wird der Exponentialansatz angesetzt. Der gesuchte Strom
hat die Einheit Ampere, sodass auch die Konstante
die Einheit Ampere hat, während die Exponentialfunktion einheitenlos ist. Statt mit
wird der Exponentialansatz mit
geschrieben, um den Zusammenhang mit der Zeitkonstante
der Schaltung zu verdeutlichen. Der Exponentialansatz und dessen Ableitung lauten für diesen Fall also:
Beides kann nun in die homogene DGL eingesetzt werden. Es ergibt sich:
Zusammenfassen liefert folgenden Ausdruck:
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Die e-Funktion kann niemals null sein. Der Fall führt zur Lösung
und ist für die Praxis meist nicht relevant, da sich in diesem Fall der Strom
nicht zeitlich ändern würde. Aus
folgt aber
. Damit wurde die Zeitkonstante der Schaltung bestimmt und die Lösung für die homogene DGL lautet:
Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
Gesucht wird eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
Da die rechte Seite mit konstant ist, kann für
auch ein konstanter Wert angenommen werden. Dann gilt
und die Gleichung vereinfacht sich zu:
Durch Umstellen sieht man, dass eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet also:
Anpassung der allgemeinen Lösung an die spezielle Anwendung
In der vorherigen Rechnung wurde für den Strom die allgemeine Lösung gefunden. Dabei ist die Größe
noch unbestimmt. Aus dem Strom
, der zum Zeitpunkt
durch die Spule fließt, resultiert die Anfangsbedingung
. Einsetzen in die allgemeine Lösung liefert:
Damit kann nun die endgültige Lösung für den Strom bestimmt werden:
In der zweiten Darstellung wurde lediglich die schon bestimmte Zeitkonstante verwendet und die Gleichung etwas anders zusammengefasst.