Getb:Beispiel für eine DGL 1. Ordnung: Das RL-Glied

Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Ziel ist es, die eben aufgestellte DGL für das RL-Glied zu lösen. Die dazugehörige homogene DGL lautet:

$\dot i_l + \frac{R}{L} \cdot i_l = 0$

Die gesuchte Funktion ist der Verlauf des Stroms $i_{Lh}(t)$. Zur Lösung wird der Exponentialansatz angesetzt. Der gesuchte Strom $i_{Lh}(t)$ hat die Einheit Ampere, sodass auch die Konstante $i_{Lh0}$ die Einheit Ampere hat, während die Exponentialfunktion einheitenlos ist. Statt mit $\lambda$ wird der Exponentialansatz mit $\textstyle \frac{1}{\tau}$ geschrieben, um den Zusammenhang mit der Zeitkonstante $\tau$ der Schaltung zu verdeutlichen. Der Exponentialansatz und dessen Ableitung lauten für diesen Fall also:

$i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}$

$\dot i_{Lh}(t) = - \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}$

Beides kann nun in die homogene DGL eingesetzt werden. Es ergibt sich:

$- \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{R}{L} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = 0$

Zusammenfassen liefert folgenden Ausdruck:

$i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} \cdot \left( \frac{R}{L} - \frac{1}{\tau} \right) = 0$

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Die e-Funktion kann niemals null sein. Der Fall $i_{Lh0}=0$ führt zur Lösung $i_{Lh}(t)=0$ und ist für die Praxis meist nicht relevant, da sich in diesem Fall der Strom $i_L$ nicht zeitlich ändern würde. Aus $\textstyle (\frac{R}{L} - \frac{1}{\tau}) =0$ folgt aber $\textstyle \frac{R}{L} = \frac{1}{\tau} \Rightarrow \tau =\frac{L}{R}$. Damit wurde die Zeitkonstante der Schaltung bestimmt und die Lösung für die homogene DGL lautet:

$i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}}$