Getb:Vorgehen zur Lösung linearer Differenzialgleichungen 2. Ordnung

Gegeben sei eine inhomogene, lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese DGL lässt sich allgemein schreiben als:

$y''(t)+a \cdot y'(t)+b \cdot y(t)=g(t)$

Wobei $a$ und $b$ Konstanten sind. Die Lösung erfolgt genauso wie die Lösung einer DGL 1. Ordnung in vier Schritten:

1. Lösung der dazugehörigen homogenen DGL
2. Finden einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL
3. Addieren der beiden Lösungen liefert die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
4. Berücksichtigung von Anfangsbedingungen

Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung

Die zur inhomogenen DGL dazugehörige homogene DGL lautet:

$y''(t)+a \cdot y'(t)+b \cdot y(t)=0$

Die allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung 2. Ordnung enthält zwei Parameter. Im Falle einer linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei linear unabhängigen partikulären Lösungen. Die Koeffizienten der partikulären Lösungen sind die beiden Parameter. Formal gilt dann für die allgemeine Lösung:

$y(t)=K_1 \cdot y_1(t)+K_2 \cdot y_2(t)$ mit $K_1,K_2 \in \R$, wobei weiterhin gelten muss:

• $y_1''(t)+a\cdot y_1'(t)+b \cdot y_1(t)=0$      (y1 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL)
• $y_2''(t)+a\cdot y_2'(t)+b \cdot y_2(t)=0$      (y2 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL)
• $y_1$ und $y_2$ sind linear unabhängig

Beide Lösungen müssen also die DGL erfüllen und linear unabhängig sein. Allgemein gilt, dass die Lösungen $y_1$ und $y_2$ auch komplexwertig sein können.

Zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen lassen sich mit Hilfe des komplexen Exponentialansatzes $y(t)=\underline{K} \cdot \operatorname{e}^{s \cdot t}$ finden. Hierbei ist zu beachten, dass mit $\underline{K}$ schon eine Konstante (bzw. ein Parameter) in den Ansatz eingebracht wurde. Der Unterstrich unter dem $\underline{K}$ deutet an, dass $\underline{K}$ komplexe Werte annehmen kann. Auch die Variable $s$ kann komplexe Werte annehmen, wird üblicherweise aber nicht unterstrichen. Für den Fall, dass $s$ komplexe Werte annimmt, wird der Ausdruck der e-Funktion selbst auch eine komplexe Zahl (vgl. z.B. Papula (2011): „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“, Bd. 1, Kapitel VII p. 652 ff.). In den meisten Fällen (und auch in der Vorlesung GET B) ist man aber nur an reell wertigen Lösungen für die DGL interessiert, da die gesuchten Ströme oder Spannungen reelle Größen sind. Deshalb ist es notwendig, komplexwertige Konstanten $\underline{K}$ anzunehmen. Im weiteren Verlauf wird deutlich, dass dadurch, mit bestimmten Anforderungen an die komplexen Konstanten, eine allgemeine komplexe Lösung auf eine allgemeine reelle Lösung der DGL zurückgeführt werden kann.