Getb:Allgemeine Hinweise zu Differenzialgleichungen

Unterschied zwischen Differenzialgleichungen und normalen Gleichungen

Eine Gleichung heißt Differenzialgleichung (DGL), wenn die Ableitungen einer unbekannten, gesuchten Funktion in der Gleichung vorkommen. Die höchste auftretende Ableitung bestimmt dabei die Ordnung der Differenzialgleichung. Neben den Ableitungen können in der Gleichung die Funktion selbst, die Variablen, von denen die Funktion abhängt (sogenannte unabhängige Variablen), und weitere mathematische Ausdrücke vorkommen. Die Lösung der Differenzialgleichung ist die Funktion, welche die Differenzialgleichung erfüllt. Das bedeutet, dass die Gleichung aufgeht, wenn man diese Funktion entsprechend der Differenzialgleichung ableitet und einsetzt.

Beispiel:

$y'''(t)+2 \cdot y'(t)=\cos (t)$

ist eine Differenzialgleichung 3. Ordnung mit der unabhängigen Variable t. Die Funktion

$y(t)=\sin (t)$

ist eine Lösung der Differenzialgleichung. Dies wird deutlich, wenn die folgenden Ableitungen eingesetzt werden:

$y'(t)=\cos (t)$

$y''(t)=-\sin (t)$

$y'''(t)=-\cos (t)$

Eine „normale“ Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Funktionswert und einer oder mehrerer Variablen sowie ggf. weiteren Ausdrücken. Eine Differenzialgleichung stellt dagegen im Wesentlichen einen Zusammenhang der Änderungsraten (Ableitungen) einer gesuchten Funktion her.