Vektorrechnung

Einführung

In der Physik werden viele Größen durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben wie z. B. das Gewicht eines Körpers oder die Temperatur. Man spricht in diesem Fall von skalaren Größen. Daneben existieren vektorielle Größen, zu deren Beschreibung neben Zahlenwert und Einheit auch noch die Richtung benötigt wird. Betrachten wir z. B. die Bewegung eines Flugkörpers, dann besitzt dieser zu jedem Zeitpunkt nicht nur eine momentane Geschwindigkeit v(t), sondern auch eine Bewegungsrichtung. Während die gerichteten Größen durch Vektoren dargestellt werden, erfolgt die Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge durch vektorielle Größengleichungen. Die gerichtete Strecke $\vec{\textbf{s}}$ kann z. B. als das Produkt aus gerichteter Geschwindigkeit $\vec{\textbf{v}}$ und Zeit t berechnet werden:

$\vec{\textbf{s}} = \vec{\textbf{v}} \cdot t$

In einer vektoriellen Gleichung erfüllen Zahlenwerte, Einheiten und Richtung unabhängig voneinander die Gleichheitsbeziehung.

Zeichnerisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt, deren Richtung die Richtung des Vektors angibt und deren Länge den Betrag des Vektors beschreibt. Zwei Vektoren werden als gleich bezeichnet, wenn sowohl ihr Betrag, ihre Orientierung im Raum als auch ihr Durchlaufsinn gleich sind. In der Physik unterscheidet man zwischen freien Vektoren und gebundenen Vektoren. Bei freien Vektoren spielt die Position ihres Anfangspunktes keine Rolle, d. h. sie können frei im Raum verschoben werden. Zwei gleiche Vektoren können so durch paralleles Verschieben zur Deckung gebracht werden. Als Beispiel für die gebundenen Vektoren können die Feldvektoren angesehen werden, die z. B. Betrag und Richtung einer ortsabhängigen Feldstärke beschreiben und damit einer bestimmten Stelle im Raum zugeordnet sind. Bei gebundenen Vektoren können Betrag und Richtung in jedem Punkt des Raumes unterschiedlich sein.

Unter einem Vektor $-\vec{\textbf{a}}$ versteht man einen Vektor mit dem gleichen Betrag wie $+\vec{\textbf{a}}$, aber mit entgegengesetzter Richtung.

Abbildung 1: Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren

Test Überschrift

Test: Addition:

$\begin{align} L & = \lim_{|x| \to \infty}\ \frac{\cos \frac 1x \cdot \frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}\\ & = \lim_{|x| \to \infty} {\cos\frac 1x} \cdot \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{x^2}{-1}\\ & = \cos\frac 1{\infty} = \cos 0 = 1 \end{align}$

Formel (1)

Hallo.

$\begin{align} h_1 &= h_\rho = 1\\ h_2 &= h_\varphi = \rho\\ h_3 &= h_\mathrm{z} = 1 \end{align}$