Cramersche Regel

Das Invertieren einer Matrix ist meist sehr aufwendig. Deswegen kann man die Cramersche Regel nutzen, um bei Gleichungssystemen der Form:

$\mathbf{A}\cdot\vec{\mathbf{x}}=\vec{\mathbf{b}}$

den Lösungsvektor $\vec{\mathbf{x}}$ zu bestimmen.

Die Cramersche Regel oder auch das Determinantenverfahren genannt, lautet:

$x_i=\frac{\det{(\mathbf{A,b})}_i}{\det{\mathbf{A}}}$

Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor $\vec{\mathbf{b}}$ in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. Interessiert also welchen Wert an der Stelle $x_1$ im Lösungsvektor steht, muss man die erste Spalte der Matrix mit $\vec{\mathbf{b}}$ ersetzen. Dann müssen die Determinaten der so neu gewonnen Matrix und der Matrix $\mathbf{A}$ bestimmt werden.

Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden.

Beispiel: Cramersche Regel am Zahlenbeispiel