Vektorrechnung

Einführung

In der Physik werden viele Größen durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben wie z. B. das Gewicht eines Körpers oder die Temperatur. Man spricht in diesem Fall von skalaren Größen. Daneben existieren vektorielle Größen, zu deren Beschreibung neben Zahlenwert und Einheit auch noch die Richtung benötigt wird. Betrachten wir z. B. die Bewegung eines Flugkörpers, dann besitzt dieser zu jedem Zeitpunkt nicht nur eine momentane Geschwindigkeit v(t), sondern auch eine Bewegungsrichtung. Während die gerichteten Größen durch Vektoren dargestellt werden, erfolgt die Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge durch vektorielle Größengleichungen. Die gerichtete Strecke $\vec{\textbf{s}}$ kann z. B. als das Produkt aus gerichteter Geschwindigkeit $\vec{\textbf{v}}$ und Zeit t berechnet werden:

$\vec{\textbf{s}} = \vec{\textbf{v}} \cdot t$

Formel (1)

In einer vektoriellen Gleichung erfüllen Zahlenwerte, Einheiten und Richtung unabhängig voneinander die Gleichheitsbeziehung.

Zeichnerisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt, deren Richtung die Richtung des Vektors angibt und deren Länge den Betrag des Vektors beschreibt. Zwei Vektoren werden als gleich bezeichnet, wenn sowohl ihr Betrag, ihre Orientierung im Raum als auch ihr Durchlaufsinn gleich sind. In der Physik unterscheidet man zwischen freien Vektoren und gebundenen Vektoren. Bei freien Vektoren spielt die Position ihres Anfangspunktes keine Rolle, d. h. sie können frei im Raum verschoben werden. Zwei gleiche Vektoren können so durch paralleles Verschieben zur Deckung gebracht werden. Als Beispiel für die gebundenen Vektoren können die Feldvektoren angesehen werden, die z. B. Betrag und Richtung einer ortsabhängigen Feldstärke beschreiben und damit einer bestimmten Stelle im Raum zugeordnet sind. Bei gebundenen Vektoren können Betrag und Richtung in jedem Punkt des Raumes unterschiedlich sein.

Unter einem Vektor $-\vec{\textbf{a}}$ versteht man einen Vektor mit dem gleichen Betrag wie $+\vec{\textbf{a}}$, aber mit entgegengesetzter Richtung.

Abbildung 1: Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren

In vielen Fällen werden unterschiedliche Vektoren benötigt, die aber den gleichen Angriffspunkt haben, z. B. kann man sich mehrere Vektoren vorstellen, die ausgehend von dem Ursprung eines Koordinatensystems zu verschiedenen Punkten im dreidimensionalen Raum zeigen. Diese Vektoren werden als Ortsvektoren bezeichnet.

Einheitsvektoren

Ein Vektor vom Betrag 1 wird Einheitsvektor genannt. Jeder Vektor kann als Produkt aus einem Betrag (seiner Länge) und einem in Richtung des Vektors zeigenden Einheitsvektor dargestellt werden.

Abbildung 2: Einheitsvektoren

Den in Richtung eines Vektors $\vec{\textbf{a}}$ zeigenden Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ kann man nach Formel (1) berechnen, indem man den Vektor durch seinen Betrag a dividiert.

Einfache Rechenoperationen mit Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Zwei Vektoren werden addiert, indem man den zweiten Vektor parallel verschiebt, dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt des ersten Vektors zusammenfällt. Der resultierende Vektor (Summenvektor) ist ein neuer Vektor, dessen Anfangspunkt mit dem Anfangspunkt des ersten Vektors und dessen Endpunkt mit dem Endpunkt des zweiten Vektors zusammenfällt.

Abbildung 3: Einheitsvektoren

Aus der Abbildung 3 ist unmittelbar zu erkennen, dass für die Vektoraddition das kommutative Gesetz gilt

$\vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{a}}$

Zur Berechnung des Differenzvektors $\vec{\textbf{a}} - \vec{\textbf{b}}$ bildet man zunächst den Vektor $-\vec{\textbf{b}}$, indem man bei dem Vektor $\vec{\textbf{b}}$ die Richtung umkehrt. Dieser neue Vektor wird dann zum Vektor $\vec{\textbf{a}}$ gemäß der Vorschrift

$\vec{\textbf{a}} - \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}} + (-\vec{\textbf{b}})$

addiert Abbildung 3.

Multiplikation von Vektor und Skalar

Bezeichnet man mit p eine positive reelle Zahl, dann versteht man unter dem Produkt $p\vec{\textbf{a}}$ einen Vektor mit der gleichen Richtung wie $\vec{\textbf{a}}$, dessen Länge $p\left|\vec{\textbf{a}}\right|= pa$ sich aber um den Faktor p geändert hat. Handelt es sich bei p um eine negative Zahl, dann versteht man unter dem Produkt p a einen neuen Vektor der Länge $\left|p \right|a$, jetzt aber mit entgegengesetzter Richtung zu dem ursprünglichen Vektor $\vec{\textbf{a}}$. Für den Sonderfall p = 0 erhält man aus dem Produkt $p\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{0}}$ den Nullvektor $\vec{\textbf{0}}$ mit der Länge 0, dessen Richtung unbestimmt ist.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt $\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}}$ zweier Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ ist definiert als

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a \vec{\textbf{e}}_{a} \cdot \vec{\textbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha$

Formel (2)

wobei $\alpha$ den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel bezeichnet, sofern beide Vektoren an dem gleichen Anfangspunkt beginnen. Das Ergebnis dieser Berechnung ist ein Skalar. Der Winkel $\alpha$ liegt zwischen 0 und 180°, d. h. der Kosinus dieses Winkels ist eindeutig.

Die Länge $b \cos\alpha$ kann interpretiert werden als die Länge der Strecke, die man bei einer Projektion des Vektors $\vec{\textbf{b}}$ auf die Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ erhält.

Abbildung 4: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt entspricht also dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b\cos\alpha$. Mit der gleichen Berechtigung kann auch der Vektor $\vec{\textbf{a}}$ auf die Richtung des Vektors $\vec{\textbf{b}}$ projiziert werden. Das Produkt aus der Länge dieser Projektion $a\cos\alpha$ mit der Länge $b$ ergibt wiederum ein Rechteck mit geändertem Seitenverhältnis, jedoch gleichem Flächeninhalt.

Aus der Beziehung Formel (2) bzw. aus der Abbildung 4 ist unmittelbar zu erkennen, dass das Skalarprodukt kommutativ ist

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} \cdot \vec{\textbf{a}}$

Für parallele bzw. senkrecht aufeinander stehende Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ erhält man die Sonderfälle

$\begin{align} \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= ab& && \vec{\textbf{a}} & \upuparrows \vec{\textbf{b}}\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= 0& &\text{fuer}& \vec{\textbf{a}} &\perp \vec{\textbf{b}}\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= -ab& && \vec{\textbf{a}} &\downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}} \end{align}$

Vektorprodukt

Zur Beschreibung einiger physikalischer Zusammenhänge wie z. B. bei der Berechnung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter oder bei der Berechnung des Drehmomentes wird noch eine andere Verknüpfung von Vektoren benötigt, die als Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt bezeichnet wird.

Abbildung 5: Vektorprodukt

Das vektorielle Produkt $\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}$ bei beiden Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ ist ein Vektor $\vec{\textbf{c}}$, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Ebene steht und dessen Richtung so festgelegt ist, dass die drei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$, $\vec{\textbf{b}}$, $\vec{\textbf{c}}$ ein Rechtssystem bilden. Beim Drehen des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{b}}$ erfährt er eine Rechtsschraube eine Vorwärtsbewegung in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{c}}$. Man kann sich diesen Zusammenhang auch auf einfache Weise mit den Fingern der rechten Hand veranschlaulichen. Zeigt der Daumen in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ und der Zeigefinger in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{b}}$, dann zeigt der senkrecht auf der von den beiden Fingern gebildeten Ebene stehende Mittelfinger in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{c}}$.

Als Betrag des Vektors $\vec{\textbf{c}}$ definiert man das Produkt $ab\sin\alpha$, das gemäß Abb. 5 dem Flächeninhalt des von beiden Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht

$\begin{align} \vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} &=\vec{\textbf{c}}& &\text{mit}& \left|\vec{\textbf{c}}\right| &= ab\sin\alpha\\ \end{align}$

Der zwischen den Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ eingeschlossenen Winkel $\alpha$ liegt in dem Wertebereich $0 \le \alpha \le 180^\circ$.

Wird der Vektor $\vec{\textbf{b}}$ in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ gedreht, dann zeigt die so entstehende Rechtsschraube in die entgegengesetzte Richtung, so dass allgemein

$\vec{\textbf{b}}\times\vec{\textbf{a}}=-(\vec{\textbf{b}}\times\vec{\textbf{a}})$

gilt. Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ.

Für parallele bzw. senkrecht aufeinander stehende Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ gelten die beiden Sonderfälle

$\begin{align} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} &= 0& &\text{fuer}& \vec{\textbf{a}} & \upuparrows \vec{\textbf{b}}\text{ und }\vec{\textbf{a}}\downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}\\ \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} &= \vec{\textbf{e}}_{\textrm{c}}ab& &\text{fuer}& \vec{\textbf{a}} &\perp \vec{\textbf{b}}\\ && \end{align}$

Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten

In der Abbildung 3 wurde ein Vektor durch Summation aus zwei anderen Vektoren berechnet. In diesem Abschnitt soll der umgekehrte Vorgang, nämlich die Zerlegung eines gegebenen Vektors in zwei oder mehr einzelne Vektoren, man spricht in diesem Zusammenhang von den Komponenten eines Vektors, gezeigt werden. In der Praxis tritt häufig der Fall auf, dass die Richtungen der einzelnen Komponenten bereits vorgegeben sind, wobei üblicherweise die Einschränkung gilt, dass die Komponenten senkrecht aufeinander stehen. Die einfachste Aufgabe ist beispielsweise die Zerlegung eines beliebigen Vektors in drei Komponenten, von denen jede parallel zu einer Achse des kartesischen Koordinatensystems verläuft. Bezeichnet man mit $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}$ die Einheitsvektoren in Richtung der entsprechenden Achsen x, y, z, dann besteht die Aufgabe bei der Zerlegung eines Vektors $\vec{\textbf{a}}$ darin, die Längen der einzelnen Komponenten $a_\mathrm{x}$, $a_\mathrm{y}$, $a_\mathrm{z}$ so zu bestimmen, dass deren Summation wieder den ursprünglichen Vektor ergibt:

$\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} a_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} a_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} a_\mathrm{z}$

Als Beispiel betrachten wir die in Abbildung 6 dargestellte Zerlegung des in der xy-Ebene liegenden Vektors $\vec{\textbf{a}}$ in die beiden Komponenten in Richtung der im Bild ebenfalls dargestellten Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$ und $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}$.

Abbildung 6: Vektorzerlegung

Die Länge $a_\mathrm{x}$ entspricht offenbar der Projektion des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ auf die parallel zu $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$ verlaufende Linie. Mit dem in der Abbildung eingetragenen Winkel $\alpha$ ist diese Länge durch den Ausdruck $a \cos\alpha$ gegeben, den man mit der Definition des Skalarproduktes nach Formel (2) in der folgenden Form schreiben kann:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} = a \cos\alpha = a_\mathrm{x} \rightarrow a_\mathrm{x} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cdot \vec{\textbf{a}}$

Die Komponente des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ in Richtung des Einheitsvektors $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$ kann nach Abbildung 6 dargestellt werden als ein Produkt aus dem Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$ und der Länge $a_\mathrm{x}$.

Abbildung 7: Vektorzerlegung

Führt man diese Betrachtung für alle drei Komponenten durch, dann kann die Vektorzerlegung in der folgenden Weise dargestellt werden:

$\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} a_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} a_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} a_\mathrm{z} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cdot \vec{\textbf{a}} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cdot \vec{\textbf{a}} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cdot \vec{\textbf{a}} \right)$

Vektorbeziehung in Komponentendarstellung

In diesem Abschnitt sollen die bisher angegebenen Beziehungen nochmals mithilfe der Komponentenzerlegung (s. o.) formuliert werden:

$\vec{\textbf{a}} \pm \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \left( a_\mathrm{x} \pm b_\mathrm{x} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \left( a_\mathrm{y} \pm b_\mathrm{y} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \left( a_\mathrm{z} \pm b_\mathrm{z} \right)$

$p \vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} p a_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} p a_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} p a_\mathrm{z}$

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} a_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} a_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} a_\mathrm{z} \right) \cdot \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} b_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} b_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} b_\mathrm{z} \right) = a_\mathrm{x} b_\mathrm{x} + a_\mathrm{y} b_\mathrm{y} + a_\mathrm{z} b_\mathrm{z}$

Für den Sonderfall zweier gleicher Vektoren folgt:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{a}} = \left| \vec{\textbf{a}} \right|^2 = a^2 = a^2_\mathrm{x} + a^2_\mathrm{y} + a^2_\mathrm{z} \rightarrow a = \sqrt{a^2_\mathrm{x} + a^2_\mathrm{y} + a^2_\mathrm{z}}$

Vorsicht: Aus der Gleichung $\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{c}}$ folgt im Allgemeinen nicht $\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{c}}$. Da es sich beim Skalarprodukt um eine Summation der Produkte aus den einzelnen Komponenten handelt, darf $\vec{\textbf{a}}$ nicht gekürzt werden.

$\begin{align} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} & = \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} a_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} a_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} a_\mathrm{z} \right) \times \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} b_\mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} b_\mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} b_\mathrm{z} \right)\\ & = a_\mathrm{x} b_\mathrm{x} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \right)}_{\vec{\textbf{0}}} + a_\mathrm{y} b_\mathrm{x} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}} a_\mathrm{z} b_\mathrm{x} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \right)}_{\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}}\\ & + a_\mathrm{x} b_\mathrm{y} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \right)}_{\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}} + a_\mathrm{y} b_\mathrm{y} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \right)}_{\vec{\textbf{0}}} a_\mathrm{z} b_\mathrm{y} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}}\\ & + a_\mathrm{x} b_\mathrm{z} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \right)}_{-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}} + a_\mathrm{y} b_\mathrm{z} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \right)}_{\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}} a_\mathrm{z} b_\mathrm{z} \underbrace{\left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \right)}_{\vec{\textbf{0}}}\\ & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \left( a_\mathrm{y} b_\mathrm{z} - a_\mathrm{z} b_\mathrm{y} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \left( a_\mathrm{z} b_\mathrm{x} - a_\mathrm{x} b_\mathrm{z} \right) + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \left( a_\mathrm{x} b_\mathrm{y} - a_\mathrm{y} b_\mathrm{x} \right) \end{align}$

Formeln zur Vektorrechnung

Nachstehend sind einige Beziehungen angegeben, die (falls bisher nicht abgeleitet) mithilfe der Komponentenzerlegung leicht überprüft werden können.

Distributivität

$\vec{\textbf{a}} \cdot \left( \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{c}} \right) = \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{c}}$

$\vec{\textbf{a}} \times \left( \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{c}} \right) = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{c}}$

Assoziativität bezüglich der Multiplikation mit einer Zahl

$p \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} \right) = \left( p \vec{\textbf{a}} \right) \cdot \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}} \cdot \left( p \vec{\textbf{b}} \right)$

$p \left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right) = \left( p \vec{\textbf{a}} \right) \times \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}} \times \left( p \vec{\textbf{b}} \right)$

Mehrfache Produkte

$\vec{\textbf{a}} \cdot \left( \vec{\textbf{b}} \times \vec{\textbf{c}} \right) = \vec{\textbf{c}} \cdot \left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right) = \vec{\textbf{b}} \cdot \left( \vec{\textbf{c}} \times \vec{\textbf{a}} \right)$

$\vec{\textbf{a}} \times \left( \vec{\textbf{b}} \times \vec{\textbf{c}} \right) = \vec{\textbf{b}} \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{c}} \right) - \vec{\textbf{c}} \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} \right)$

$\left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right) \cdot \left( \vec{\textbf{c}} \times \vec{\textbf{d}} \right) = \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{c}} \right) \left( \vec{\textbf{b}} \cdot \vec{\textbf{d}} \right) - \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{d}} \right) \left( \vec{\textbf{b}} \cdot \vec{\textbf{c}} \right)$

$\left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right)^2 = \left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right) \cdot \left( \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} \right) = a^2 b^2 - \left( \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} \right)^2$