Kartesische Koordinaten

Abbildung 1: Das Kartesische Koordinatensystem

Den einfachsten Fall stellt das kartesische Koordinatensystem dar, bei dem die als x-, y- und z-Achse bezeichnet geradlinigen Koordinatenachsen zueinander orthogonal sind. Ihr gemeinsamer Schnittpunkt wird als Koordinatenursprung bzw. direkt als Ursprung bezeichnet. Die Richtung wachsender Koordinatenwerte wird für die Achsen so festgelegt, dass die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}$ , $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}$ , $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}$ , die jeweils parallel zu den durch den betreffenden Index gekennzeichneten Koordinatenachsen verlaufen, im Sinne der obigen Gleichung ein Rechtssystem bilden. Dreht man die positive x-Achse auf dem kürzesten Weg in Richtung der positiven y-Achse, d. h. gegen den Uhrzeigersinn, dann erhält man bei gleichzeitiger Verschiebung in Richtung der positiven z-Achse eine Rechtsschraube.

Eine Besonderheit beim kartesischen Koordinatensystem besteht darin, dass die Richtung der Einheitsvektoren aufgrund der geradlinigen Koordinaten x, y, z konstant, d. h. unabhängig von deren Position im Raum ist.

Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).

Der Raumpunkt P wird bezogen auf den Koordinatenursprung 0 durch den Ortsvektor $\vec{\textbf{r}}$ der Länge $r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|$ beschrieben:

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z} \mathrm{mit} r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2}

Formel (1)

Die differentielle Änderung des Ortsvektors $\mathrm{d} \vec{\textbf{r}}$ beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz in Richtung der gleichnamigen Koordinaten