Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 30: | Zeile 30: | ||
[[Image:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|miniatur|<caption>Einheitsvektoren</caption>]] | [[Image:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|miniatur|<caption>Einheitsvektoren</caption>]] | ||
</figure> | </figure> | ||
− | Aus [[:File:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|Vektoraddition und -subtraktion]] ist unmittelbar zu erkennen, dass für die Vektoraddition das kommutative Gesetz gilt | + | Aus der Abbildung [[:File:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|Vektoraddition und -subtraktion]] ist unmittelbar zu erkennen, dass für die Vektoraddition das kommutative Gesetz gilt |
:<math> | :<math> | ||
\vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{a}} | \vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} + \vec{\textbf{a}} | ||
Zeile 40: | Zeile 40: | ||
</math> | </math> | ||
addiert Abbildung ([[:File:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|Vektoraddition und -subtraktion]]). | addiert Abbildung ([[:File:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|Vektoraddition und -subtraktion]]). | ||
+ | |||
+ | ==Multiplikation von Vektor und Skalar== | ||
+ | Bezeichnet man mit ''p'' eine positive reelle Zahl, dann versteht man unter dem Produkt <math>\textit{p}\vec{\textbf{a}}</math> einen Vektor mit der gleichen Richtung wie <math>\vec{\textbf{a}}</math>, dessen Länge <math>\textit{p}\left|\vec{\textbf{a}}\right|= \textit{p}\textit{a}</math> sich aber um den Faktor ''p'' geändert hat. Handelt es sich bei ''p'' um eine negative Zahl, dann versteht man unter dem Produkt ''p'' ''a'' einen neuen Vektor der Länge <math>\left|\textit{p} \right|\textit{a}</math>, jetzt aber mit entgegengesetzter Richtung zu dem ursprünglichen Vektor <math>\vec{\textbf{a}}</math>. Für den Sonderfall ''p'' = 0 erhält man aus dem Produkt <math>\textit{p}\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{0}}</math> den Nullvektor <math>\vec{\textbf{0}}</math> mit der Länge 0, dessen Richtung unbestimmt ist. | ||
=== Test Überschrift === | === Test Überschrift === |
Version vom 27. September 2011, 10:56 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Einführung
In der Physik werden viele Größen durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben wie z. B. das Gewicht eines Körpers oder die Temperatur. Man spricht in diesem Fall von skalaren Größen. Daneben existieren vektorielle Größen, zu deren Beschreibung neben Zahlenwert und Einheit auch noch die Richtung benötigt wird. Betrachten wir z. B. die Bewegung eines Flugkörpers, dann besitzt dieser zu jedem Zeitpunkt nicht nur eine momentane Geschwindigkeit v(t), sondern auch eine Bewegungsrichtung. Während die gerichteten Größen durch Vektoren dargestellt werden, erfolgt die Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge durch vektorielle Größengleichungen. Die gerichtete Strecke kann z. B. als das Produkt aus gerichteter Geschwindigkeit
und Zeit t berechnet werden:
- Formel (1)
In einer vektoriellen Gleichung erfüllen Zahlenwerte, Einheiten und Richtung unabhängig voneinander die Gleichheitsbeziehung.
Zeichnerisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt, deren Richtung die Richtung des Vektors angibt und deren Länge den Betrag des Vektors beschreibt. Zwei Vektoren werden als gleich bezeichnet, wenn sowohl ihr Betrag, ihre Orientierung im Raum als auch ihr Durchlaufsinn gleich sind. In der Physik unterscheidet man zwischen freien Vektoren und gebundenen Vektoren. Bei freien Vektoren spielt die Position ihres Anfangspunktes keine Rolle, d. h. sie können frei im Raum verschoben werden. Zwei gleiche Vektoren können so durch paralleles Verschieben zur Deckung gebracht werden. Als Beispiel für die gebundenen Vektoren können die Feldvektoren angesehen werden, die z. B. Betrag und Richtung einer ortsabhängigen Feldstärke beschreiben und damit einer bestimmten Stelle im Raum zugeordnet sind. Bei gebundenen Vektoren können Betrag und Richtung in jedem Punkt des Raumes unterschiedlich sein.
Unter einem Vektor versteht man einen Vektor mit dem gleichen Betrag wie
, aber mit entgegengesetzter Richtung.
In vielen Fällen werden unterschiedliche Vektoren benötigt, die aber den gleichen Angriffspunkt haben, z. B. kann man sich mehrere Vektoren vorstellen, die ausgehend von dem Ursprung eines Koordinatensystems zu verschiedenen Punkten im dreidimensionalen Raum zeigen. Diese Vektoren werden als Ortsvektoren bezeichnet (s. Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren).
Einheitsvektoren
Ein Vektor vom Betrag 1 wird Einheitsvektor genannt. Jeder Vektor kann als Produkt aus einem Betrag (seiner Länge) und einem in Richtung des Vektors zeigenden Einheitsvektor dargestellt werden.
Den in Richtung eines Vektors zeigenden Einheitsvektor
kann man nach Formel (1) berechnen, indem man den Vektor durch seinen Betrag a dividiert.
Einfache Rechenoperationen mit Vektoren
Addition und Subtraktion von Vektoren
Zwei Vektoren werden addiert, indem man den zweiten Vektor parallel verschiebt, dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt des ersten Vektors zusammenfällt. Der resultierende Vektor (Summenvektor) ist ein neuer Vektor, dessen Anfangspunkt mit dem Anfangspunkt des ersten Vektors und dessen Endpunkt mit dem Endpunkt des zweiten Vektors zusammenfällt.
Aus der Abbildung Vektoraddition und -subtraktion ist unmittelbar zu erkennen, dass für die Vektoraddition das kommutative Gesetz gilt
Zur Berechnung des Differenzvektors bildet man zunächst den Vektor
, indem man bei dem Vektor
die Richtung umkehrt. Dieser neue Vektor wird dann zum Vektor
gemäß der Vorschrift
addiert Abbildung (Vektoraddition und -subtraktion).
Multiplikation von Vektor und Skalar
Bezeichnet man mit p eine positive reelle Zahl, dann versteht man unter dem Produkt einen Vektor mit der gleichen Richtung wie
, dessen Länge
sich aber um den Faktor p geändert hat. Handelt es sich bei p um eine negative Zahl, dann versteht man unter dem Produkt p a einen neuen Vektor der Länge
, jetzt aber mit entgegengesetzter Richtung zu dem ursprünglichen Vektor
. Für den Sonderfall p = 0 erhält man aus dem Produkt
den Nullvektor
mit der Länge 0, dessen Richtung unbestimmt ist.
Test Überschrift
Test: Addition:
Formel (2)
Hallo.
Test
Formel (2)