Getb:Beispiel für eine DGL 1. Ordnung: Das RL-Glied: Unterschied zwischen den Versionen

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==Anpassung der allgemeinen Lösung an die spezielle Anwendung==
 
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In der vorherigen Rechnung wurde für den Strom <math> i_L (t) </math> die allgemeine Lösung gefunden. Dabei ist die Größe <math> i_{Lh0} </math> noch unbestimmt. Aus dem Strom <math> i_{L0} </math> , der zum Zeitpunkt <math> t=0 </math> durch die Spule fließt, resultiert die Anfangsbedingung <math> i_L (0) = i_{L0} </math>. Einsetzen in die allgemeine Lösung liefert:
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:<math> i_{L0} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot 0}{L}} + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^0 + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} + \frac{U_0}{R} </math>
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:<math> \Rightarrow i_{Lh0} = i_{L0} - \frac{U_0}{R} </math>
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Damit kann nun die endgültige Lösung für den Strom <math> i_L (t) </math> bestimmt werden:
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:<math> i_L (t) = \left( i_{L0} - \frac{U_0}{R} \right) \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}} + \frac{U_0}{R} </math>
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:<math> \Leftrightarrow i_L (t) = i_{L0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{R} \cdot (1 - \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}) </math>
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In der zweiten Darstellung wurde lediglich die schon bestimmte Zeitkonstante <math> \tau </math> verwendet und die Gleichung etwas anders zusammengefasst.

Version vom 27. April 2016, 22:05 Uhr

Aufstellen der Differenzialgleichung

Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Ziel ist es, die eben aufgestellte DGL für das RL-Glied zu lösen. Die dazugehörige homogene DGL lautet:

\dot i_l + \frac{R}{L} \cdot i_l = 0

Die gesuchte Funktion ist der Verlauf des Stroms i_{Lh}(t) . Zur Lösung wird der Exponentialansatz angesetzt. Der gesuchte Strom i_{Lh}(t) hat die Einheit Ampere, sodass auch die Konstante i_{Lh0} die Einheit Ampere hat, während die Exponentialfunktion einheitenlos ist. Statt mit \lambda wird der Exponentialansatz mit \textstyle \frac{1}{\tau} geschrieben, um den Zusammenhang mit der Zeitkonstante \tau der Schaltung zu verdeutlichen. Der Exponentialansatz und dessen Ableitung lauten für diesen Fall also:

i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}
\dot i_{Lh}(t) = - \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}

Beides kann nun in die homogene DGL eingesetzt werden. Es ergibt sich:

- \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{R}{L} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = 0

Zusammenfassen liefert folgenden Ausdruck:

i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} \cdot \left( \frac{R}{L} - \frac{1}{\tau} \right) = 0

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Die e-Funktion kann niemals null sein. Der Fall i_{Lh0}=0 führt zur Lösung i_{Lh}(t)=0 und ist für die Praxis meist nicht relevant, da sich in diesem Fall der Strom i_L nicht zeitlich ändern würde. Aus \textstyle (\frac{R}{L} - \frac{1}{\tau}) =0 folgt aber \textstyle \frac{R}{L} = \frac{1}{\tau} \Rightarrow \tau =\frac{L}{R} . Damit wurde die Zeitkonstante der Schaltung bestimmt und die Lösung für die homogene DGL lautet:

i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}}

Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

Gesucht wird eine partikuläre Lösung i_{Lp} der inhomogenen DGL

\dot i_L + \frac{R}{L} \cdot i_L = \frac{U_0}{L}

Da die rechte Seite mit \textstyle \frac{U_0}{L} konstant ist, kann für i_{Lp} auch ein konstanter Wert angenommen werden. Dann gilt \dot i_{Lp} = 0 und die Gleichung vereinfacht sich zu:

\frac{R}{L} \cdot i_{Lp} = \frac{U_0}{L}

Durch Umstellen sieht man, dass \textstyle i_{Lp} = \frac{U_0}{R} eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet also:

i_L (t) = i_{Lh}(t) + i_{Lp} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}} + \frac{U_0}{R}

Anpassung der allgemeinen Lösung an die spezielle Anwendung

In der vorherigen Rechnung wurde für den Strom i_L (t) die allgemeine Lösung gefunden. Dabei ist die Größe i_{Lh0} noch unbestimmt. Aus dem Strom i_{L0} , der zum Zeitpunkt t=0 durch die Spule fließt, resultiert die Anfangsbedingung i_L (0) = i_{L0} . Einsetzen in die allgemeine Lösung liefert:

i_{L0} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot 0}{L}} + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^0 + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} + \frac{U_0}{R}
\Rightarrow i_{Lh0} = i_{L0} - \frac{U_0}{R}

Damit kann nun die endgültige Lösung für den Strom i_L (t) bestimmt werden:

i_L (t) = \left( i_{L0} - \frac{U_0}{R} \right) \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}} + \frac{U_0}{R}
\Leftrightarrow i_L (t) = i_{L0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{R} \cdot (1 - \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}})

In der zweiten Darstellung wurde lediglich die schon bestimmte Zeitkonstante \tau verwendet und die Gleichung etwas anders zusammengefasst.

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