Getb:Vorgehen zur Lösung linearer Differenzialgleichungen 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> y(t)=K_1 \cdot y_1(t)+K_2 \cdot y_2(t) </math> mit <math>K_1,K_2 \in \R </math>, wobei weiterhin gelten muss: | <math> y(t)=K_1 \cdot y_1(t)+K_2 \cdot y_2(t) </math> mit <math>K_1,K_2 \in \R </math>, wobei weiterhin gelten muss: | ||
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*<math>y_1''(t)+a\cdot y_1'(t)+b \cdot y_1(t)=0 </math> (y1 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL) | *<math>y_1''(t)+a\cdot y_1'(t)+b \cdot y_1(t)=0 </math> (y1 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL) | ||
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*<math>y_2''(t)+a\cdot y_2'(t)+b \cdot y_2(t)=0 </math> (y2 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL) | *<math>y_2''(t)+a\cdot y_2'(t)+b \cdot y_2(t)=0 </math> (y2 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL) | ||
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* <math> y_1 </math> und <math> y_2 </math> sind linear unabhängig | * <math> y_1 </math> und <math> y_2 </math> sind linear unabhängig | ||
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Da nur reelle Lösungen relevant sind, muss zusätzlich gelten, dass die Parameter komplex konjugiert zueinander sein müssen, also <math>\underline{K_2}=\underline{K_1}^* </math>. Dies wird durch Einsetzen des Zusammenhangs und Umformen unter Ausnutzung der Eulerschen Formel deutlich. Mit <math> \underline{K_1}=K_r+j \cdot K_i </math> ergibt sich dann: | Da nur reelle Lösungen relevant sind, muss zusätzlich gelten, dass die Parameter komplex konjugiert zueinander sein müssen, also <math>\underline{K_2}=\underline{K_1}^* </math>. Dies wird durch Einsetzen des Zusammenhangs und Umformen unter Ausnutzung der Eulerschen Formel deutlich. Mit <math> \underline{K_1}=K_r+j \cdot K_i </math> ergibt sich dann: | ||
+ | :<math> y(t) = \operatorname{e}^{\alpha \cdot t} \cdot ( \underline{K_1} \cdot \operatorname{e}^{j \cdot \omega \cdot t} + \underline{K_1}^* \cdot \operatorname{e}^{-j \cdot \omega \cdot t} ) </math> | ||
+ | :<math> = \operatorname{e}^{\alpha \cdot t} \cdot ((K_r + j \cdot K_i ) \cdot (\cos (\omega \cdot t) + j \cdot \sin (\omega \cdot t))+(K_r - j \cdot K_i ) \cdot (\cos (\omega \cdot t) - j \cdot \sin (\omega \cdot t)) ) </math> | ||
==Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung== | ==Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung== | ||
Version vom 24. April 2016, 16:24 Uhr
Gegeben sei eine inhomogene, lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese DGL lässt sich allgemein schreiben als:
Wobei und
Konstanten sind. Die Lösung erfolgt genauso wie die Lösung einer DGL 1. Ordnung in vier Schritten:
- Lösung der dazugehörigen homogenen DGL
- Finden einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL
- Addieren der beiden Lösungen liefert die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
- Berücksichtigung von Anfangsbedingungen
Inhaltsverzeichnis
Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung
Die zur inhomogenen DGL dazugehörige homogene DGL lautet:
Die allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung 2. Ordnung enthält zwei Parameter. Im Falle einer linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei linear unabhängigen partikulären Lösungen. Die Koeffizienten der partikulären Lösungen sind die beiden Parameter. Formal gilt dann für die allgemeine Lösung:
mit
, wobei weiterhin gelten muss:
(y1 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL)
(y2 ist partikuläre Lösung der homogenen DGL)
-
und
sind linear unabhängig
Beide Lösungen müssen also die DGL erfüllen und linear unabhängig sein. Allgemein gilt, dass die Lösungen und
auch komplexwertig sein können.
Zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen lassen sich mit Hilfe des komplexen Exponentialansatzes finden. Hierbei ist zu beachten, dass mit
schon eine Konstante (bzw. ein Parameter) in den Ansatz eingebracht wurde. Der Unterstrich unter dem
deutet an, dass
komplexe Werte annehmen kann. Auch die Variable
kann komplexe Werte annehmen, wird üblicherweise aber nicht unterstrichen. Für den Fall, dass
komplexe Werte annimmt, wird der Ausdruck der e-Funktion selbst auch eine komplexe Zahl (vgl. z.B. Papula (2011): „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“, Bd. 1, Kapitel VII p. 652 ff.). In den meisten Fällen (und auch in der Vorlesung GET B) ist man aber nur an reell wertigen Lösungen für die DGL interessiert, da die gesuchten Ströme oder Spannungen reelle Größen sind. Deshalb ist es notwendig, komplexwertige Konstanten
anzunehmen. Im weiteren Verlauf wird deutlich, dass dadurch, mit bestimmten Anforderungen an die komplexen Konstanten, eine allgemeine komplexe Lösung auf eine allgemeine reelle Lösung der DGL zurückgeführt werden kann.
Der Exponentialansatz und dessen Ableitungen und
können nun in die homogene DGL eingesetzt werden:
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren 0 ist. Die e-Funktion kann niemals 0 sein, und der Fall führt zu der trivialen Lösung
. Somit muss der Ausdruck in der Klammer zu Null werden. Die daraus resultierende Bedingung
heißt charakteristische Gleichung und kann zum Beispiel mit der p-q-Formel aufgelöst werden:
Die Lösungen heißen Eigenwerte. Es ergeben sich drei verschiedene Lösungsfälle:
→ Die charakteristische Gleichung hat zwei verschiedene, reelle Lösungen
→ Die charakteristische Gleichung hat zwei gleiche, reelle Lösungen
→ Die charakteristische Gleichung hat zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen (komplexe Lösungen treten stets als konjugiert komplexe Paare auf)
Fall 1 ![(a^2-4b > 0)](/wiki/geta/images/math/9/5/2/952931896fbaab52d95365959f55ef49.png)
Die beiden voneinander verschiedenen, reellen Eigenwerte führen mit dem Exponentialansatz auch zu zwei verschiedenen reellen Lösungen der homogenen DGL:
und
mit
. Da die Exponentialfunktionen reell sind, müssen auch die Konstanten
und
reell sein, damit die resultierende allgemeine Lösung reell ist. Die beiden Lösungen
und
sind linear unabhängig. Deshalb gilt für die allgemeine Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, bei der zwei unterschiedliche reelle Eigenwerte auftreten:
Fall 2 ![(a^2-4b = 0)](/wiki/geta/images/math/e/2/b/e2b3e72ab1fea4cc4aa187eba16879a7.png)
Da die beiden Eigenwerte gleich sind, ergibt sich aus dem Exponentialansatz nur eine Lösung:
Die Exponentialfunktion ist reell, deshalb muss auch der Parameter reell sein, da für
nur reelle Lösungen in Frage kommen. Der Exponentialansatz führt in diesem Fall aber nur zu einer Lösungsfunktion, es werden jedoch zwei linear unabhängige Lösungsfunktionen für die allgemeine Lösung benötigt. Mit dem Verfahren „Variation der Konstanten“ (Idee: Einsetzen der Lösung aus dem Exponentialansatz und Annahme einer veränderlichen Konstante
) lässt sich eine weitere unabhängige Lösung
mit
finden. Dass dies tatsächlich eine Lösung der DGL ist, lässt sich durch Einsetzen in die DGL verifizieren. Die allgemeine Lösung für eine homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, bei der zwei gleiche Eigenwerte auftreten, ergibt sich damit durch:
Fall 3 ![(a^2-4b < 0)](/wiki/geta/images/math/8/8/7/8873e8004322e37be03d0d01ca2a2313.png)
Mit den Abkürzungen und
(da
) lassen sich die Eigenwerte folgendermaßen angeben:
ist also der Realteil und
der Imaginärteil der Eigenwerte. Einsetzen der Lösungen in den Exponentialansatz und addieren der beiden Ansätze liefert:
Und weiter umgeformt:
Da nur reelle Lösungen relevant sind, muss zusätzlich gelten, dass die Parameter komplex konjugiert zueinander sein müssen, also . Dies wird durch Einsetzen des Zusammenhangs und Umformen unter Ausnutzung der Eulerschen Formel deutlich. Mit
ergibt sich dann:
- Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): = \operatorname{e}^{\alpha \cdot t} \cdot ((K_r + j \cdot K_i ) \cdot (\cos (\omega \cdot t) + j \cdot \sin (\omega \cdot t))+(K_r - j \cdot K_i ) \cdot (\cos (\omega \cdot t) - j \cdot \sin (\omega \cdot t)) )