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| − | Eine Zusammenschaltung von verschiedenen aktiven oder passiven, linearen Zweipolen heißt '''Lineares Netzwerk'''. Es lässt sich durch '''lineare Gleichungssysteme''' beschreiben.
| + | #WEITERLEITUNG [[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht]] |
| − | [[Datei:Netzwerk.svg|300px|thumb|Ein Netzwerk aus linearen Zweipolen]]
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| − | Um solch ein lineares Gleichungssystem aufzustellen, kann man die [[Kirchhoffschen Gesetze]], also Maschen-, und Knotengleichungen verwenden. Dementsprechend wird eine '''Maschenanalyse''' angewandt, wenn die Ströme eines Netzwerks in einigen oder allen Zweigen gesucht sind. Sind die Spannungen gesucht, verwendet man die Knotenanalyse. Die Gleichungssysteme erhalten dabei folgende Formen:
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| − | :<math>\mathbf{R}\cdot\vec{\mathbf{I}}=\vec{\mathbf{U}}</math>
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| − | oder
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| − | :<math>\mathbf{G}\cdot\vec{\mathbf{U}}=\vec{\mathbf{I}}</math>
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| − | oder in allgemeiner Form:
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| − | :<math>\mathbf{A}\cdot\vec{\mathbf{x}}=\vec{\mathbf{b}}</math>
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| − | Matrizen werden hier, um sie von anderen, zum Beispiel skalaren Größen zu unterscheiden fett gedruckt. Dabei können Vektoren als Sonderfall von Matrizen aufgefasst werden, die nur eine Spalte besitzen. Ebenfalls sollte beachtet werden, dass hier die gesuchten Größen bei diesen Gleichungen auf der linken Seite stehen, also auf der selben Seite wie die Widerstands- oder Leitwertmatrix.
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel= Knotenanalyse
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| − | |Inhalt=
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| − | }}
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| − | [[Komponenten des linearen Gleichungsystems]]
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| − | ==Matrizenrechnung==
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| − | [[Multiplikation zweier Matrizen]]
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| − | ===Multiplikation von Matrix und Vektor===
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| − | Vektoren können als Sonderform von Matrizen betrachtet werden, die nur eine Spalte besitzen. Möchte man eine Matrix mit einen Vektor multiplizieren muss also immer zuerst die Matrix stehen und anschließend erst der Vektor und die Zeilenanzahl der Matrix muss der Spaltenanzahl des Vektors entsprechen:
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| − | :<math>\mathbf{A}\cdot\vec{\mathbf{x}}=
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| − | | |
| − | \begin{pmatrix}
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| − | a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k}\\
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| − | | |
| − | a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\
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| − | | |
| − | \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
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| − | a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mk}
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| − | \end{pmatrix}\cdot
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | x_1\\
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| − | | |
| − | x_2\\
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| − | | |
| − | \ldots\\
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| − | | |
| − | x_k
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| − | \end{pmatrix}
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| − | =
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | a_{11}\cdot x_1 + a_{12}\cdot x_2 + \ldots + a_{1k}\cdot x_k\\
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| − | | |
| − | a_{21}\cdot x_1 + a_{22}\cdot x_2 + \ldots + a_{2k}\cdot x_k\\
| |
| − | | |
| − | \ldots \\
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| − | | |
| − | a_{m1}\cdot x_1 + a_{m2}\cdot x_2 + \ldots + a_{mk}\cdot x_k
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| − | \end{pmatrix}
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| − | </math>
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| − | ===Einheitsmatrix und Inverse ===
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| − | Der Lösungsvektor '''x''' steht in der oben beschriebenen Form immer mit der Koeffizientenmatrix auf einer Seite. Nun soll der Lösungsvektor durch umstellen der Gleichung aber bestimmt werden. Da man aber niemals durch einen Vektor teilen darf, muss man sich einem anderen mathematischen Hilfsmittel bedienen, der '''Inverse''' der Matrix <math>\mathbf{A}</math>.
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| − | Um die Inverse einer Matrix zu verstehen, betrachtet man zunächst eine andere besondere quadratische Matrix, die Einheitsmatrix <math>\mathbf{E}</math>. In manchen Büchern wird sie auch mit einer <math>\mathbf{1}</math> dargestellt.
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| − | Sie hat folgende Form:
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| − | :<math>
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| − | \mathbf{E}=
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | 1 & 0 & \ldots & 0\\
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| − | 0 & 1 & \ldots & 0\\
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| − | \ldots & \ldots &\ldots &\ldots\\
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| − | 0 & 0 & \ldots & 1
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| − | \end{pmatrix}
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| − | </math>
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| − | Dabei ist die Matrix, die Inverse und die Einehitsmatrix in folgender Form verknüpft:
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| − | :<math>
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| − | \mathbf{A}\cdot\mathbf{A^{-1}}=\mathbf{E}
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| − | </math>
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| − | Dies gilt allerdings nur unter der Vorraussetzung, dass die '''Inverse''' von A also <math>\mathbf{A^{-1}}</math> existiert. Dies ist dann der Fall, wenn die [[Lineare Gleichungssysteme#Determinante einer Matrix|Determinante]] nicht 0 ist.
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| − | Um also den Lösungsvektor '''x''' zu bestimmen,muss die Inverse existieren.
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| − | Analog zu der Einheitsmatrix, kann man in den reellen Zahlen die ''1 ''als ''Eins-Element'' betrachten. Dort funktioniert dies auf ähnliche Weise mit allen rationalen Zahlen. Es gibt zu jeder Zahl einen Bruch, der mit der Zahl multipliziert wieder 1 ergibt:
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| − | :<math>\begin{align} a=5 && a^{-1}=\frac{1}{5} && a^{-1}a=1 \end{align}</math>
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| − | Um nun die Inverse einer Matrix zu bestimmen benötigt man folgende Rechenvorschrift:
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| − | :<math>\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{det(\mathbf{A})}\mathbf{A}_{adj}</math> | |
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| − | Hierbei wird auch deutlich, dass die '''Determinante''' der Matrix nicht 0 sein darf, wenn die Inverse der Matrix existieren soll. Da sonst bei Bestimmung der Inverse durch 0 geteilt werden müsste und so einen unbestimmten Ausdruck ergäbe.
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| − | <math>\mathbf{A}_{adj}</math> heißt die '''Adjunkte''' von <math>\mathbf{A}</math>. Für eine 2x2-Matrix, die in dieser Veranstaltung vollkommen ausreicht, ergibt sich dafür folgende Form:
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | \mathbf{A}=
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | a & b\\
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| − | c & d
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| − | \end{pmatrix}
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| − | && &&
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| − | \mathbf{A}_{adj}=
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | d & -b\\
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| − | | |
| − | -c & a
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| − | \end{pmatrix}
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | === Determinante einer Matrix ===
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| − | [[Datei:Regel_von_Sarrus.svg|300px|thumb|Regel von Sarrus am Beispiel einer 3x3-Matrix]]
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| − | Eine quadratische Matrix <math>\mathbf{A}</math> wird auf eindeutige Weise einer bestimmten Zahl zugeordnet, diese Zahl heißt '''Determinante''' der Matrix, oder in mathematischer Schreibweise:
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| − | :<math>\det{\mathbf{A}}</math>
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| − | Die Determinante, ist dabei ein Maß für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems. Es gilt, wenn die Determinante ungleich null ist, also:
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| − | :<math>\det{\mathbf{A}}\not=0</math>
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| − | ist das System linear unabhängig und damit eindeutig lösbar. Umgekehrt gilt ebenso: Ist die Determinate gleich 0, gibt es unendlich viele verschiedene Lösungen und das System damit auch nicht linear unabhängig ist.
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| − | ==== Berechnung der Determinante ====
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| − | In diesem Abschnitt sollen zwei Lösungsverfahren, zur Bestimmung der Determinante einer quadratischen Matrix besprochen werden.
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| − | '''a)'''
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| − | Das erste Lösungsverfahren, das Enwickeln der Matrix nach einer beliebigen Zeile oder Spalte ist ein Verfahren das allgemein gilt und immer verwendet werden kann.
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| − | Entwickelt man nach beliebiger Spalte (s-te Spalte), ergibt sich folgende Form:
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| − | :<math>\det{\mathbf{A}}=\sum_{s=1}^m (-1)^(r+s)\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}</math>
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| − | oder man entwickelt nach einer beliebigen Zeile (r-te Zeile). Daraus folgt:
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| − | :<math>\det{\mathbf{A}}=\sum_{r=1}^m (-1)^(r+s)\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}</math>
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| − | '''b)'''
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| − | Das zweite Verfahren die '''Regel von Sarrus''', gilt nur bei 3x3-Matrizen oder kleiner. Es ist allerdings viel weniger aufwendig.
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| − | Die Rechenvorschrift ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet. Dabei muss bei der 3x3 Matrix zunächst noch die ersten beiden Spalten angehängt werden, dieser Schritt fällt bei einer 2x2 Matrix weg . Dann muss man also nur nach dem "Maschendrahtzaun-Prinzip" erst alle diagonal von rechts oben nach links unten Verlaufenden Zahlenreihen multiplizieren und anschließend aufaddieren und anschließend diagonal in entgegengesetzer Richtung die Diagonalen multiplizieren und subtrahieren.
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel= Regel von Sarrus am Zahlenbeispiel
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| − | |Inhalt=
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| − | }}
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| − | === Cramersche Regel ===
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