Cramersche Regel

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Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem $\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$ , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix $\textbf{A}$ quadratisch ist und ihre Determinante $\det\textbf{A}$ nicht verschwindet (es muss also $\det\textbf{A} \neq 0$ gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.

Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:

x_i = \frac{\det(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i}{\det \textbf{A}}

Dabei bezeichnet $(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i$ die $n \times n$ -Matrix, bei der die $i$ -te Spalte von $\textbf{A}$ durch den Spaltenvektor $\vec{\textbf{b}}$ ersetzt wurde. Das Element (die Komponente) $x_i$ des Vektors $\vec{\textbf{x}}$ ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von $(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i$ und der Determinante von $\textbf{A}$ .

Zur Veranschaulichung der Regel wird nachfolgend das Beispiel aus der Einführung aufgegriffen:

Dieses Gleichungssystem der Form $\textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0$ wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Ströme $I_3$ , $I_5$ und $I_6$ bestimmt werden. Der Strom $I_3$ ist das erste Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch zunächst die erste Spalte der Widerstandsmatrix $\textbf{W}$ durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt: