Einheitsvektoren

Einheitsvektor

Unter einem Einheitsvektor versteht man allgemein einen Vektor mit dem Betrag beziehungsweise der Länge 1. Der Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ zu einem gegebenen Vektor $\vec{\textbf{a}}$ lässt sich dadurch bestimmen, dass man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag $|\vec{\textbf{a}}|$ dividiert:

$\vec{\textbf{e}}_{a} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}$

Der Vektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ hat die Länge 1 (es gilt also $|\vec{\textbf{e}}_{a}| = 1$) und zeigt in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$. Auf diese Weise lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag (also einer skalarwertigen Größe) und dem dazugehörigen Einheitsvektor angeben. Der Vektor $\vec{\textbf{a}}$ kann somit auch wie folgt dargestellt werden:

$\vec{\textbf{a}} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} |\vec{\textbf{a}}| = \vec{\textbf{e}}_{a} |\vec{\textbf{a}}|$

Beispiel: Richtungsangabe von Kräften Beobachtet man die Wirkung von Ladungen aufeinander, so lässt sich feststellen, dass diese Kräfte aufeinander ausüben. Werden nun zwei Punktladungen $Q_1$ und $Q_2$ im Abstand $r$ zueinander positioniert (siehe Abbildung), so herrscht zwischen ihnen eine Kradt $F$ gemäß dem Coulombschen Gesetz: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

Beispiel: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor Gegeben sei der Vektor $\vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt: $\vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ 0\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}$ Das dieser Vektor tatsächlich die Länge 1 hat, lässt sich leicht durch die Bestimmung des Betrags überprüfen: $|\vec{\textbf{e}}_{b}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Anthony Croft and Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)

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