Cramersche Regel: Unterschied zwischen den Versionen
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Da es sich hier um <math>3 \times 3</math>-Matrizen handelt, können die Determinanten schnell zum Beispiel mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme <math>I_5</math> und <math>I_6</math> kann analog vorgegangen werden. Da der Strom <math>I_5</math> das ''zweite'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die ''zweite'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden. | Da es sich hier um <math>3 \times 3</math>-Matrizen handelt, können die Determinanten schnell zum Beispiel mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme <math>I_5</math> und <math>I_6</math> kann analog vorgegangen werden. Da der Strom <math>I_5</math> das ''zweite'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die ''zweite'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden. | ||
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− | I_5 = \frac{\det(\textbf{W},\vec{\textbf{I}}_\nu) | + | I_5 = \frac{\det(\textbf{W},\vec{\textbf{I}}_\nu)_2}{\det \textbf{W}} = |
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Version vom 26. November 2012, 16:38 Uhr
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Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix quadratisch ist und ihre Determinante nicht verschwindet (es muss also gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:
Dabei bezeichnet die -Matrix, bei der die -te Spalte von durch den Spaltenvektor ersetzt wurde. Das Element (die Komponente) des Vektors ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von und der Determinante von .
Zur Veranschaulichung der Regel wird nachfolgend das Beispiel aus der Einführung aufgegriffen:
Dieses Gleichungssystem der Form wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Ströme , und bestimmt werden. Der Strom ist das erste Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch zunächst die erste Spalte der Widerstandsmatrix durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt:
Da es sich hier um -Matrizen handelt, können die Determinanten schnell zum Beispiel mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme und kann analog vorgegangen werden. Da der Strom das zweite Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die zweite Spalte der Widerstandsmatrix durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden.